Родился в 1927 году. Его отец Александр (Аслан) Бегларович Чхеидзе до Первой мировой войны работал матросом на рыболовном судне на Каспии и был связан с большевистской организацией Баку, вёл агитацию среди матросов торгового флота, рыбаков, рабочих Баку и Дербента. С началом Первой мировой войны оказался на фронте, был тяжело ранен. После революции служил в конном отряде Серго Орджоникидзе, участвовал в освобождении Дербента и Баку. А когда этот отряд освободил Тифлис, отец остался в столице Грузии. Он работал машинистом на железной дороге. Его мать, Ольга Александровна, работала на станкостроительном заводе имени Кирова в медпункте.

    До войны Алексей занимался в драмкружке, изостудии, мотоспортом. Участвовал в ответственных соревнованиях. К 13 годам овладел всеми видами спортивного плавания. Но главным его увлечением был футбол. Играл он в подростковой команде «Сокол», которую тренировал полузащитник тбилисского «Динамо» Михаил Челидзе. 

С началом войны, он всё лето до начала учебного года, проработал на заводе на погрузке снарядов. После начала учебного года, Алексей с другими членами драмкружка, ходили в госпиталь и выступали перед ранеными, читали им газеты и стихи. Тогда же он бросил занятия в изостудии и стал заниматься на курсах рукопашного боя.

   Летом 1943 года тбилисские школьники 9—10-х классов начали проходить военную подготовку, изучали оружие, военное снаряжение, тактику — бой в наступлении и т.д., преподавателями были как правило фронтовики которых после ранений направляли обучать военному делу молодежь.

   В мае 1943 года Чхеидзе окончил курсы инструкторов рукопашного боя. 1 сентября 1943 года комсомольцам 1926 года рождения, разрешили подавать заявления и по комсомольской путёвке идти служить на флот. 5 сентября 1943 года, в шестнадцать лет, Алексей в составе отряда из сорока Тбилисских комсомольцев, убыл в Поти. По прибытию в экипаж Черноморского флота, он был распределён, для последующего обучения, в школу младших командиров, специалистов береговой обороны Черноморского флота в Батуми, которую окончил в конце мая 1944 года и был направлен для дальнейшего прохождения службы в Дунайскую флотилию.

 По прибытию в Одессу Алексей попал служить рулевым на деревянный минометный катер №21. Он хотел быть в гуще боев  и практически сразу  написал рапорт о переводе его в морскую пехоту и в конце июля Чхеидзе переводят в 369-й Краснознаменный отдельный Керченский батальон морской пехоты. В составе которого он принимал участие в форсировании Днестровского лимана. В боях за освобождение городов Белград - Днестровский, Татарбунари, Вилково, Килия, Рейно, Измаил.

        25 августа 1944 года А.Чхеидзе вблизи Килии вместе с В.Запсельским взял в плен  командира 62 немецкой пехотной дивизии генерал-майора Троппе.

   24 августа 1944 года по инициативе командования был сформирован Береговой отряд сопровождения кораблей Дунайской флотилии. В отряд вошли; 369-й батальон морской пехоты, штурмовой отряд под командованием старшего лейтенанта И.Т.Кочкина, две батареи 122-миллиметровых пушек, четыре тяжелые минометные батареи, батарея тяжелых зенитных пулеметов, бронемашина и несколько грузовых машин для быстрой переброски личного состава.

       25 сентября 1944 года Чхеидзе переводят в отряд разведчиков Дунайской флотилии, которым командовал ст. лейтенант Виктор Калганов-Борода. Алексей Чхеидзе вместе с разведчиками отряда Бороды участвовал в боях за освобождение Болгарии, Румынии, Югославии, Венгрии, Чехословакии и Австрии.

        После освобождения Вены, по приказу командования, 16 апреля 1945 года Алексея вернули в Будапешт, флотилии требовались лоцманы для проводки катеров по Дунаю, а у него такой опыт уже был. Задачей была проводка боевых кораблей и военных транспортов с войсками и грузами через разрушенные мосты и минные поля.

        В мае 1945 года, катер на котором служил Алексей Чхеидзе подорвался на мине. По другой версии, он подорвался при попытке обезвредить мину. Сам он этого момента не помнил, сказалась частичная потеря памяти. Очнулся через три дня в Братиславе, в госпитале. В общей сложности он получил около сорока осколочных ранений, были повреждены четыре ребра, ключица, ноги, у него не было кистей рук, он плохо слышал, поначалу не мог говорить и месяц провёл с повязкой на глазах. После снятия повязки зрение частично вернулось на один глаз.

      В августе 1945 года его направили в госпиталь в Одессу. 25 апреля 1946 года Алексей окончательно потерял зрение. В конце мая его демобилизовали и он уехал домой. Уже тогда он задумался о написании книги о Дунайской флотилии. В 1948 году он приехал в Москву на консультацию к профессору Ченцову, который согласился взяться за операцию, но для этого надо было сперва укрепить глаз, для чего требовались регулярные процедуры в течение нескольких лет. На это время он лёг в лечебный интернат для инвалидов Великой Отечественной войны в местечке Данки, Серпуховского района Московской области. В интернате, с помощью учеников сельской школы, он начал собирать материал для своей книги и разыскивать своих боевых товарищей. В том же году, в Данковской средней школе, при участии Алексея Чхеидзе, был организован отряд «Поиск». Школьники приходили к нему в интернат и под диктовку Алексея Александровича писали многочисленные запросы, в адресные столы, военкоматы, архивы и даже в загсы. Позднее был организован клуб интернациональной дружбы «Красная гвоздика». Об отряде и Алексее Чхеидзе стали появляться рассказы и очерки в газетах, сначала в местных; в районной газете «Коммунист», в областной «Ленинское знамя». Потом и в центральных; «Московский комсомолец», «Советский спорт», «Комсомольская правда». В журналах «Советский моряк», «Советский воин», «Пограничник», «Смена», «Огонёк". Из них и сложилась книга "Записки дунайского разведчика". Центральное телевидение организовало большую передачу в разведчиках, в которой принял участие бывший командующий Дунайской флотилией вице-адмирал Георгий Никитич Холостяков, начальник штаба флотилии Аркадий Владимирович Свердлов, командир отряда разведчиков Виктор Андреевич Калганов и Алексей Александрович Чхеидзе. Так же на Всесоюзном радио прошло несколько передач участием Алексея Александровича.

       11 октября 1961 года Алексей Александрович потерял слух, далее он мог слышать только с помощью слухового аппарата, который с конца 70-х годов тоже перестал помогать ему. Тогда он с ребятами разработал своеобразный способ общения, его собеседники «писали» слова печатными буквам, пальцем  на теменной части его головы, а Алексей Александрович для коррекции восприятия повторял все это вслух.

       В начале 80-х годов многолетний упорный труд был завершен, рукопись была отправлена в редакцию и вскоре была издана книга «Записки дунайского разведчика».

         Книга была отмечена поощрительным дипломом на конкурсе им. Н. Островского. Издавалась на грузинском, болгарском, югославском, чешском языках.

       Алексей Александрович Чхеидзе скончался в 1992 году. Похоронен на местном кладбище в м. Данки.